رولٽ ۾ لڳاتار سلسلن جو امڪان
هڪ رنگ جا ڊگها سلسلا عام آهن. ايندڙ ڦيري لاءِ انهن جي ڪا معنيٰ به ناهي.
لڳاتار پنج ڳاڙها: 2.7%. ڏهه: 0.074%. 200 ڦيرن جي ويهڪ ۾ هڪ رنگ جا ڇهه لڳاتار اڪثر ڪري ايندا آهن.
هار جو سلسلو ڪيترو اڪثر اچي ٿو
هڪ ٻڙيءَ واري ڦيٿي تي برابر ادائگيءَ وارو شرط 37 مان 19 ڦيرن ۾ هارائي ٿو. هر قطار ٻڌائي ٿي ته ڏنل ڦيرن جو سلسلو سڄو هارائڻ جو امڪان ڪيترو آهي، ۽ مارٽنگيل رانديگر، جيڪو هر هار کان پوءِ رقم ٻيڻي ڪري ٿو، تيستائين ڪيترو وڃائي چڪو آهي.
| لڳاتار هارون | موقعو | لڳ ڀڳ 1 مان | هيستائين نقصان | ايندڙ شرط |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26.4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13.5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7.0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3.6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1.8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0.94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0.48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0.25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0.13% | 784 | $1,023 | $1,024 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $2,047 | $2,048 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $4,095 | $4,096 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $8,191 | $8,192 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $16,383 | $16,384 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $32,767 | $32,768 |
امڪان 19/37 آهي، جيڪو هر هار لاءِ هڪ ڀيرو پاڻ سان ضرب ٿئي ٿو، ڪنهن هڪ ڏنل ڦيري کان ڳڻيندي. ڊگهي ويهڪ ۾ ڪيترائي ڦيرا هوندا آهن جتان اهڙو سلسلو شروع ٿي سگهي ٿو، تنهنڪري سڄي شام ۾ ان جو امڪان هڪ قطار ۾ ڏيکاريل امڪان کان گهڻو وڌيڪ آهي.
هڪ سلسلو
ايندڙ k ڦيرن جي سڀني جي ڳاڙهيشرطڳاڙهو18 ڳاڙهن انگن تي برابر ادائگيءَ وارو شرط. فرانسيسي: روژ.مڪمل پڙهو ← اچڻ جو امڪانرياضيامڪانڪنهن نتيجي جي ٿيڻ جو اندازو، 0 کان 1 تائين يا 0% کان 100% تائين. هڪ انگ: 1/37 = 2.70%.مڪمل پڙهو ← (18/37)ᵏ آهي. ٻه: 23.7%. پنج: 2.7%. ڏهه: 0.074%، يعني لڳ ڀڳ 1,350 ۾ 1. ويهه: 1.8 ملين ۾ 1. ڇويهه، مونٽي ڪارلو جو رڪارڊ: 137 ملين ۾ 1. اهي ڪنهن خاص ڦيري کان شروع ٿيندڙ ڪنهن خاص سلسلي جا امڪان آهن، ۽ اهو اهڙو سوال آهي جيڪو لڳ ڀڳ ڪو به حقيقت ۾ نٿو پڇي.
هڪ ويهڪ ۾
ماڻهو جيڪو سوال پڇڻ چاهين ٿا، اهو آهي «ڇا منهنجي ويهڪ ۾ ڪٿي نه ڪٿي k جو سلسلو ايندو؟»، ۽ ان جو جواب (18/37)ᵏ کان تمام وڏو آهي، ڇو ته 200 ڦيرن جي ويهڪ ۾ سلسلي جي شروع ٿيڻ لاءِ لڳ ڀڳ 200 جايون آهن. ساڳئي رنگ، ڳاڙهي يا ڪاريشرطڪارو18 ڪارن انگن تي برابر ادائگيءَ وارو شرط. فرانسيسي: نوار.مڪمل پڙهو ←، جا ڇهه يا وڌيڪ لڳاتار 200 ڦيرن جي ويهڪ ۾ لڳ ڀڳ 94% ڀيرا اچن ٿا؛ اٺ يا وڌيڪ لڳ ڀڳ 47%؛ ڏهه يا وڌيڪ لڳ ڀڳ 14%. جيڪڏهن رنگ اڳ ۾ ٻڌايو وڃي ته امڪان گهٽجي لڳ ڀڳ 75%، 27% ۽ 7% ٿي وڃن ٿا. جيڪو رانديگر سڄي شام ويهي، اهو هر شام ڊگها سلسلا ڏسندو.
مارٽنگيل کي ان جي پرواهه ڇو آهي
هر منفي درجيوار نظامحڪمت عمليدرجيوار نظامڪو به قاعدو جيڪو اڳين نتيجن جي بنياد تي شرط جي رقم بدلائي. منفي درجيوار نظام هار کان پوءِ رقم وڌائين ٿا، مثبت نظام کٽ کان پوءِ.مڪمل پڙهو ← جي هڪ اهڙي سلسلي جي ڊيگهه آهي جيڪا ان کي ٽوڙي ڇڏي ٿي: $10 جي بنيادي شرط ۽ $500 جي حد سان ڇهه هارون، فبوناچيحڪمت عمليفبوناچيدرجيوار نظام جيڪو 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13… تسلسل تي هلي ٿو: هار کان پوءِ هڪ قدم اڳتي، کٽ کان پوءِ ٻه قدم پوئتي.مڪمل پڙهو ← لاءِ ڏهه، درجننشرطدرجن1–12، 13–24 يا 25–36، 2:1 ادا ڪري ٿي.مڪمل پڙهو ← تي ٽيڻو ڪرڻ لاءِ پنج. برابر ادائگيءَ تي ڇهن هارن جي سلسلي جو امڪان هر ڪوشش ۾ (19/37)⁶ ≈ 1.8% آهي، ۽ 200 ڦيرن جي ويهڪ ۾ شايد 100 ڪوششون هجن، تنهنڪري ان ڊيگهه جي لڳ ڀڳ هر پنجن مان چئن ويهڪن ۾ اها ٽٽڻ اچي وڃي ٿي. رولٽ ۾ سلسلن جو امڪان ئي اهو سبب آهي جو اها ڪري ناياب ناهي.
گرم ۽ ٿڌا انگ
ساڳيو حساب هڪ انگشرطهڪ انگهڪ اڪيلو انگ، 35:1 ادا ڪري ٿو.مڪمل پڙهو ← وارن شرطن تي به لاڳو آهي. 300 ڦيرن ۾ هر انگ جو متوقع ڳاڻاٽو 8.1 آهي؛ معياري انحرافرياضيمعياري انحرافويريئنس جو جذر؛ متوقع قدر کان ڪنهن نتيجي جو عام فاصلو.مڪمل پڙهو ← لڳ ڀڳ 2.8 آهي. هر ڀيري، رڳو اتفاق سان، ڪو انگ 15 ڀيرا ۽ ڪو 2 ڀيرا ايندو. نتيجن جو تختو جيڪو «گرم» انگن کي نمايان ڪري ٿو، اهو نارمل ورڇ جي چوٽي کي نمايان ڪري رهيو آهي. ليبارٽري سمجهائي ٿي ته ڪنهن گرم انگغلط عقيدوگرم انگاهڙو انگ جيڪو تازو توقع کان وڌيڪ ڀيرا آيو هجي. صحيح ڦيٿي تي اهو ڪنهن به شيءِ جي اڳڪٿي نٿو ڪري.مڪمل پڙهو ← جي ڪا معنيٰ ٿيڻ لاءِ ڪيترا ڦيرا گهرجن (هزارين، هڪ سڃاتل ڦيٿي مان).
سڄي ڳالهه آزاديءَ جي آهي
ڏهن ڳاڙهن جو سلسلو ڪاري کي وڌيڪ امڪان وارو نٿو بڻائي، ۽ نه ئي ڳاڙهي کي. ٻنهي جو امڪان 18/37 آهي. سلسلا بي ترتيب تسلسل جي خاصيت آهن ۽ انهن جو نه هجڻ شڪ پيدا ڪري ها: 200 ڦيرن جو اهڙو تسلسل جنهن ۾ ڪو به سلسلو چئن کان ڊگهو نه هجي، ڇيڙڇاڙ جو ان تسلسل کان تمام مضبوط ثبوت هوندو جنهن ۾ ٻارهن جو سلسلو هجي.
فارمولو
سوال
مونٽي ڪارلو ۾ 18 آگسٽ 1913 تي 26 ڪارا سڀ کان مشهور آهي. 1943 ۾ هڪ آمريڪي ڪسينو ۾ لڳاتار 32 ڳاڙهن جي خبر آئي هئي. ٻئي اتفاق سان مطابقت رکن ٿا، ڇو ته ڪسينو تمام گهڻا ڦيرا هلائين ٿا.
ٻنهي صورتن ۾ 18/37 آهي. اهو شرط لڳايو جيڪو اوهان جو منصوبو چوي، يا ڪجهه به نه.
نه. جهڪاءُ هزارين ڦيرن ۾ ڪجهه خاننسامانخانوروٽر تي انگن وارن 37 خانن مان هڪ. ٻيا نالا: سلاٽ، ڪپ.مڪمل پڙهو ← جي وڌيڪ اچڻ سان ظاهر ٿئي ٿو، رنگ جي سلسلن سان نه.
رياضيءَ سان مزو
پهرين پاڻ ڪوشش ڪريو. هر حل لڪيل آهي؛ جڏهن تيار هجو ته کوليو.
يورپي ڦيٿي جي سراسري طور تي ڪيترن ڦيرن کان پوءِ سڀ 37 انگ گهٽ ۾ گهٽ هڪ ڀيرو اچي چڪا هوندا؟
حل ڏيکاريو
جواب سراسري طور تي اٽڪل 155 ڦيرا؛ وچون قدر 147 آهي.
انتظار کي هڪ هڪ نئين انگ سان ڳڻيو. پهريون ڦيرو هميشه نئون انگ ڏيکاري ٿو. 1 انگ ڏسڻ کان پوءِ 37 مان 36 خاناسامانخانوروٽر تي انگن وارن 37 خانن مان هڪ. ٻيا نالا: سلاٽ، ڪپ.مڪمل پڙهو ← نوان آهن، تنهنڪري ايندڙ نئين انگ لاءِ سراسري طور تي 37/36 ڦيرا گهرجن. k انگ ڏسڻ کان پوءِ، 37/(37 − k) ڦيرا.
انتظار جمع ڪريو: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4.20 = 155.5 ڦيرا.
ان جو گهڻو حصو آخر ۾ آهي. رڳو آخري انگ سراسري طور تي 37 ڦيرا وٺي ٿو، ۽ آخري پنج اٽڪل 85. آمريڪي ڦيٿي تي ساڳيو حساب اٽڪل 161 ڏئي ٿو. هي «ڪوپن گڏ ڪندڙ جو مسئلو» آهي؛ ساڳي سراسري معياري حساب مان نڪري ٿي.
يورپي ڦيٿي جي 37 ڦيرن ۾، هر خاني لاءِ هڪ ڦيرو، اوهان کي ڪيترا مختلف انگ ڏسڻ جي توقع ڪرڻ گهرجي؟
حل ڏيکاريو
جواب اٽڪل 23.6. لڳ ڀڳ ٽيون حصو انگ، اٽڪل 13، بلڪل نٿا اچن.
هڪ انگ وٺو، مثال طور 17. هر ڦيري تي ان جي نه اچڻ جو امڪان 36/37 آهي، تنهنڪري سڀني 37 ڦيرن ۾ ان جي نه اچڻ جو امڪان (36/37)³⁷ ≈ 0.363 آهي.
هر انگ جو امڪان ساڳيو آهي، تنهنڪري سراسري طور تي 37 × 0.363 ≈ 13.4 انگ غائب رهن ٿا ۽ 37 − 13.4 ≈ 23.6 اچن ٿا، انهن مان گهڻا ٻه يا وڌيڪ ڀيرا.
رولٽ جا رانديگر ان کي «ٽين حصي جو قانون» سڏين ٿا. اهو ڪو قانون ناهي، رڳو ورجاءَ جو حساب آهي: ڦيٿي جيتري ڊگهي سلسلي ۾ اٽڪل ٽيون حصو انگ ٻاهر رهن ٿا، صحيح ڦيٿي تي به ۽ ڪنهن ٻئي تي به. 38 خانن تي به حصو (37/38)³⁸ ≈ 0.363 آهي؛ وڏي ڦيٿي لاءِ اهو 1/e ≈ 0.368 جي ويجهو ٺهري ٿو.
هڪ دوست اوهان کي 50 رنگن، ڳاڙهيشرطڳاڙهو18 ڳاڙهن انگن تي برابر ادائگيءَ وارو شرط. فرانسيسي: روژ.مڪمل پڙهو ← يا ڪاريشرطڪارو18 ڪارن انگن تي برابر ادائگيءَ وارو شرط. فرانسيسي: نوار.مڪمل پڙهو ←، جون ٻه فهرستون ڏيکاري ٿو، ٻنهي بابت چيو وڃي ٿو ته اهي ٻڙيونڦيٿوٻڙياڪيلو سائو خانو جيڪو ڪنهن به برابر ادائگيءَ واري، درجن يا ڪالم واري شرط ۾ شامل ناهي؛ ڪسينو جي برتريءَ جو سرچشمو. ٻيا نالا: هڪ ٻڙي، 0.مڪمل پڙهو ← ڪڍي ڦيٿي مان آيون آهن. هڪ 25 ڀيرا رنگ بدلائي ٿي ۽ ان جو ڊگهي ۾ ڊگهو سلسلو ڇهن جو آهي. ٻي 35 ڀيرا بدلائي ٿي ۽ ڪڏهن به ٽن کان اڳتي نٿي وڃي. ڪهڙي گهڙيل آهي؟
حل ڏيکاريو
جواب ٻي. حقيقي فهرست اٽڪل 24 يا 25 ڀيرا بدلجي ٿي. 35 تبديلين واري فهرست اٽڪل 500 فهرستن ۾ هڪ ڀيرو ملي ٿي، ۽ ٽن کان ڊگهي سلسلي کان خالي فهرست اٽڪل 100 مان ٻه ڀيرا.
هر نئون رنگ يا ته اڳئين جو ورجاءُ آهي يا تبديلي، اڌ اڌ، تنهنڪري تبديليءَ جا 49 موقعا سراسري طور تي 24.5 تبديليون ڏين ٿا، اٽڪل 3.5 گهٽ وڌ. پنجٽيهه انهن مان ٽي قدم سراسريءَ کان مٿي آهي؛ صحيح ڦيٿو ايتريون تبديليون اٽڪل 500 فهرستن ۾ هڪ ڀيرو ڏئي ٿو.
سلسلا به ساڳي ڳالهه ٻڌائين ٿا. 50 جي حقيقي فهرست ۾ اٽڪل 98% ڀيرا چئن يا وڌيڪ جو سلسلو هوندو آهي، ۽ ان جو ڊگهي ۾ ڊگهو سلسلو گهڻو ڪري پنجن يا ڇهن جو هوندو آهي.
جن ماڻهن کي بي ترتيب فهرست گهڙڻ لاءِ چيو وڃي ٿو، اهي گهڻو ڀيرا رنگ بدلائين ٿا، ڇو ته چئن يا پنجن جو سلسلو کين ڪو نمونو لڳي ٿو. ٽيلر (2021) شاگردن جي گهڙيل سڪي اڇلن جي فهرستن ۾ اها ئي نشاني ڏيکاري ٿو: حقيقي بي ترتيبي ماڻهن جي توقع کان وڌيڪ سلسلي واري آهي.
ڪسينو جي قصن جو هڪ ڪتاب هڪ رانديگر جو ذڪر ڪري ٿو جنهن جو انگ لڳاتار پنج ڀيرا آيو ۽ ان کي رڪارڊ سڏي ٿو. يورپي ڦيٿي تي اهو ڪيترو ناياب آهي؟ ۽ هڪ ڪسينو ۾، جنهن ۾ 20 ميزون آهن ۽ هر هڪ ڏينهن رات ڪلاڪ ۾ 40 ڦيرا گهمائي ٿي، اهو ڪٿي نه ڪٿي ڪيترو ڀيرو ٿيڻ گهرجي؟
حل ڏيکاريو
جواب اڳ ۾ نالو ورتل انگ لڳاتار پنج ڀيرا: 69 ملين ۾ 1. ڪو به انگ پهريون ڀيرو اچڻ کان پوءِ وڌيڪ چار ڀيرا: 1.87 ملين ۾ 1. اهو ڪسينو سال ۾ اٽڪل 7 ملين ڦيرا گهمائي ٿو، تنهنڪري ان کي سال ۾ ٽي يا چار ڀيرا پنجن جو سلسلو ڏسڻ گهرجي.
اڳ ۾ نالو ورتل انگ هر ڦيري تي 1/37 امڪان سان اچي ٿو، تنهنڪري لڳاتار پنجن جو امڪان (1/37)⁵ = 69,343,957 ۾ 1 آهي. پر ڪو به انگ اڳ ۾ نالو وٺي نٿو چونڊي. جيڪو به پهرين اچي، ايندڙ چار ڦيرا ان کي ورجائين: (1/37)⁴ = 1,874,161 ۾ 1.
20 ميزون × 40 ڦيرا × 24 ڪلاڪ × 365 ڏينهن = سال ۾ 7,008,000 ڦيرا. هر ڦيرو سلسلو شروع ڪري سگهي ٿو، تنهنڪري ڪسينو سال ۾ 7,008,000/1,874,161 ≈ 3.7 پنجن جا سلسلا توقع ڪري ٿو.
اهڙو ڪو سرڪاري رڪارڊ موجود ناهي، ۽ ان جي ضرورت به ناهي: هڪ ميز تي ناياب واقعو سڄي ڪسينو ۾ معمولي ڳالهه آهي، ۽ قصا ان ميز جا ٻڌايا وڃن ٿا جتي اهو ٿيو. گولڊمين (2007) ۾ اهو قصو ٻٽي ٻڙيءَ واري ڦيٿي تي آهي، جتي انگ 79 ملين ۾ 1 ۽ 2.09 ملين ۾ 1 آهن.
ٿورو مزاح
ڊگها سلسلا ئي بي ترتيبيءَ جي اصل شڪل آهن.
حوالا
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.