مسئلو: جنم ڏينهن جو ڦيٿو
ڪيترن ڦيرن کان پوءِ ڪو انگ ٻيهر ايندو؟ گهڻن ماڻهن جي اندازي کان تمام گهٽ.
37 خاننسامانخانوروٽر تي انگن وارن 37 خانن مان هڪ. ٻيا نالا: سلاٽ، ڪپ.مڪمل پڙهو ← واري ڦيٿي تي جنم ڏينهن جو مسئلو: رڳو 8 ڦيرن کان پوءِ اڌ کان وڌيڪ موقعو آهي ته ڪو انگ اڳ ۾ ئي ٻه ڀيرا اچي چڪو هوندو. رانديگر ورجاءَ کي نمونا سمجهن ٿا؛ اهي صحيح ڦيٿي جو متوقع رويو آهن.
مسئلو
صحيح يورپي ڦيٿو گهمايو. ڪيترن ڦيرن تائين اهو امڪانرياضيامڪانڪنهن نتيجي جي ٿيڻ جو اندازو، 0 کان 1 تائين يا 0% کان 100% تائين. هڪ انگ: 1/37 = 2.70%.مڪمل پڙهو ← اڌ کان وڌي ويندو ته گهٽ ۾ گهٽ ٻن ڦيرن ساڳيو انگ ڏيکاريو آهي؟ گهڻا رانديگر 18 يا 19 جي آسپاس اندازو لڳائين ٿا، يعني 37 جو اڌ. جواب 8 آهي.
حل
ڪنهن به ورجاءَ نه هجڻ جو امڪان ڳڻيو ۽ ان کي هڪ مان ڪٽيو. k ڦيرن کان پوءِ، p(سڀ مختلف) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). k = 8 لاءِ: 1 × 0.973 × 0.946 × 0.919 × 0.892 × 0.865 × 0.838 × 0.811 ≈ 0.44، تنهنڪري p(ڪو ورجاءُ) ≈ 0.56. k = 14 لاءِ اهو 0.93 آهي؛ k = 20 لاءِ 0.996. وجدان ان ڪري ناڪام ٿئي ٿو جو ڦيرن جي جوڙن جو تعداد k² وانگر وڌي ٿو، ۽ ڪو به جوڙو ملي سگهي ٿو.
ميز تي اهو اهم ڇو آهي
آخري 20 انگن وارو نتيجن جو تختو لڳ ڀڳ هميشه گهٽ ۾ گهٽ هڪ ورجاءُ ڏيکاريندو، اڪثر ٻه يا ٽي. رانديگر ڏسن ٿا «ڏهن ڦيرن ۾ 17 ٻه ڀيرا آيو» ۽ نتيجو ڪڍن ٿا ته 17 گرم آهي؛ جنم ڏينهن وارو حساب چوي ٿو ته ڏهن ڦيرن اندر ورجاءُ 74% ڀيرا ٿئي ٿو ۽ ورجايل انگ بي ترتيب آهي. نمونو حقيقي آهي؛ ان جي معنيٰ نه.
ايندڙ مسئلو
ڪيترن ڦيرن تائين ڪو خاص انگ، مثال طور 17، ٻه ڀيرا اچي چڪو هوندو؟ اهو ٻيو سوال آهي جنهن جو جواب تمام وڏو آهي: متوقع انتظار 74 ڦيرا آهي، ۽ 20 ڦيرن اندر ٻن 17 جو امڪان لڳ ڀڳ 10% آهي. «ڪو انگ ورجائجي ٿو» (8 ڦيرا) ۽ «هي انگ ورجائجي ٿو» (74 ڦيرا) جي وچ ۾ فرق اهو ئي سڄو فرق آهي جيڪو بعد ۾ نظر ايندڙ نموني ۽ اڳواٽ ڪيل اڳڪٿيءَ جي وچ ۾ آهي.
ڪوشش ڪريو
آزمائشي راند ڏهه ڦيرا هلايو ۽ تاريخ ڏسو. اڪثر ڪو ورجاءُ هوندو. ٻيهر هلايو. ورجايل انگ مختلف هوندو. ائين ڏهه ڀيرا ڪريو ته اوهان جنم ڏينهن جو مسئلورياضيجنم ڏينهن جو مسئلوڪيترن ماڻهن کان پوءِ امڪان آهي ته ٻن جو جنم ڏينهن ساڳيو هجي، يا ڪيترن ڦيرن کان پوءِ ڪو انگ ٻيهر اچڻ جو امڪان ٿئي. 37 خانن واري ڦيٿي تي 8 ڦيرا اڌ کان وڌيڪ امڪان لاءِ ڪافي آهن.مڪمل پڙهو ← ڏسي ورتو؛ هزار ڀيرا ڪريو (سموليٽر ڪري سگهن ٿا) ته اوهان ان کي ماپي ورتو.
فارمولو
سوال
بلڪل، 365 ڏينهن بدران 37 خانن سان. جنم ڏينهن لاءِ 23 ماڻهو 50% ڏين ٿا؛ ڦيٿي لاءِ 8 ڦيرا 56% ڏين ٿا.
لڳ ڀڳ 19 ڦيرن کان پوءِ 50%. اڃا به معمول جي ڳالهه.
نه. هڪ ڦيٿي جا هزارين ڦيرا ڏئي سگهن ٿا؛ هڪ ورجاءُ ڪڏهن به نه.
رياضيءَ سان مزو
پهرين پاڻ ڪوشش ڪريو. هر حل لڪيل آهي؛ جڏهن تيار هجو ته کوليو.
آمريڪي ڦيٿي جي ڀرسان نتيجن جو تختو آخري 16 ڦيرا ڏيکاري ٿو. ڪيترو امڪان آهي ته ان تي ڪو به انگ ٻه ڀيرا نه هجي؟
حل ڏيکاريو
جواب اٽڪل 2.5%: لڳ ڀڳ 40 مان 39 تختن تي گهٽ ۾ گهٽ هڪ ورجاءُ هوندو آهي.
ڦيري ڦيري سان هلو. پهريون ڦيرو ڪجهه به ٿي سگهي ٿو. ٻئي کي ان کان بچڻو آهي: 38 مان 37 موقعا. ٽئين کي ٻنهي کان: 38 مان 36. سورهين کي پندرهن انگن کان: 38 مان 23.
ضرب ڏيو: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0.0246.
ورجاءَ کان خالي تختو ئي ناياب آهي. ورجاءَ وارو تختو ڦيٿي بابت ڪجهه نٿو ٻڌائي.
يورپي ڦيٿي جي ڏهن ڦيرن ۾، ڪيترو امڪان آهي ته 17 بلڪل پنج ڀيرا اچي؟ ته ڪو انگ، ڪو به انگ، پنج يا وڌيڪ ڀيرا اچي؟ ۽ ته ڪو انگ چئن ڦيرن ۾ گهٽ ۾ گهٽ ٽي ڀيرا اچي؟
حل ڏيکاريو
جواب 17 بلڪل پنج ڀيرا: 315,576 ۾ 1. ڪو انگ پنج يا وڌيڪ ڀيرا: اٽڪل 8,333 ۾ 1. ڪو انگ چئن ڦيرن ۾ ٽي يا وڌيڪ ڀيرا: 349 ۾ 1.
17 پنج ڀيرا: ڏهن مان ڪهڙا پنج ڦيرا، 252 طريقا، هر هڪ جو امڪان (1/37)⁵ × (36/37)⁵. گڏجي، 315,576 ۾ 1.
ڪو انگ: 37 انگن مان هر هڪ جو پنج يا وڌيڪ ڀيرا اچڻ جو امڪان 308,325 ۾ 1 آهي، جيڪو 308,325 ۾ 37 ڏئي ٿو، يعني 8,333 ۾ 1. ٻن انگن جي پنج پنج ڀيرا اچڻ جي ناياب صورت ٻه ڀيرا ڳڻجي ٿي، پر ان کي ڪڍڻ سان هن درستيءَ تي ڪجهه نٿو بدلجي.
چئن ڦيرن ۾ ٽي ڀيرا: هڪ انگ لاءِ 37⁴ ممڪن نتيجن مان 4 × 36 + 1 = 145؛ 37 انگن مان ڪنهن لاءِ به، 145/37³ = 349 ۾ 1.
ٻٽي ٻڙيءَڦيٿوٻڙياڪيلو سائو خانو جيڪو ڪنهن به برابر ادائگيءَ واري، درجن يا ڪالم واري شرط ۾ شامل ناهي؛ ڪسينو جي برتريءَ جو سرچشمو. ٻيا نالا: هڪ ٻڙي، 0.مڪمل پڙهو ← واري ڦيٿي لاءِ لاڳاپيل انگ 359,275 ۾ 1، 9,243 ۾ 1 ۽ 368 ۾ 1 آهن. «17» ۽ «ڪو انگ» جي وچ وارو فرق وري جنم ڏينهن جو مسئلورياضيجنم ڏينهن جو مسئلوڪيترن ماڻهن کان پوءِ امڪان آهي ته ٻن جو جنم ڏينهن ساڳيو هجي، يا ڪيترن ڦيرن کان پوءِ ڪو انگ ٻيهر اچڻ جو امڪان ٿئي. 37 خانن واري ڦيٿي تي 8 ڦيرا اڌ کان وڌيڪ امڪان لاءِ ڪافي آهن.مڪمل پڙهو ← آهي: حيران ٿيڻ جا 37 طريقا آهن.
ٿورو مزاح
ڪجهه نه ڪجهه جلدي ورجائجي ٿو. اهو ڪجهه بي ترتيب آهي.
حوالا
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, roulette questions.