مسئلو: ميز جي حد
$500 جي حد واري ميز تي $10 وارو مارٽنگيل. اهو ڪيترو ڀيرو ٽٽي ٿو، ٽٽڻ تي ڪيترو وڃائي ٿو، ۽ ڇا حد وڌائڻ مدد ڪري ٿي؟
لڳاتار ڇهه هارون ان کي ٽوڙي ڇڏين ٿيون: هر چڪر ۾ 1.8%، 100 ڦيرن جي لڳ ڀڳ 60% ويهڪن ۾. ٽٽڻ جي قيمت $630 آهي. حد $5,000 تائين وڌائڻ ٽٽڻ کي ناياب (هر چڪر ۾ 0.25%) ۽ وڏو ($5,110) بڻائي ٿو. شرط ۾ لڳل هر ڊالر تي متوقع نقصان ڪنهن به حد تي 2.70% آهي.
مسئلو
هڪ رانديگر ڳاڙهيشرطڳاڙهو18 ڳاڙهن انگن تي برابر ادائگيءَ وارو شرط. فرانسيسي: روژ.مڪمل پڙهو ← تي $10 لڳائي ٿو ۽ هر هار کان پوءِ رقم ٻيڻي ڪري ٿو، ۽ کٽ کان پوءِ وري شروع کان. ميز جي وڌ ۾ وڌ حد $500 آهي. (a) ڪيتريون لڳاتار هارون درجيوار نظامحڪمت عمليدرجيوار نظامڪو به قاعدو جيڪو اڳين نتيجن جي بنياد تي شرط جي رقم بدلائي. منفي درجيوار نظام هار کان پوءِ رقم وڌائين ٿا، مثبت نظام کٽ کان پوءِ.مڪمل پڙهو ← کي ٽوڙين ٿيون؟ (b) هر چڪر ۾ امڪانرياضيامڪانڪنهن نتيجي جي ٿيڻ جو اندازو، 0 کان 1 تائين يا 0% کان 100% تائين. هڪ انگ: 1/37 = 2.70%.مڪمل پڙهو ← ڪيترو آهي؟ (c) ٽٽڻ تي ڇا وڃي ٿو؟ (d) $5,000 جي حد جوابن کي ڪيئن بدلائي ٿي؟ (e) ڇا ڪا حد نظام کي نفعي وارو بڻائي ٿي؟
حل (a)–(c)
رقمون: 10، 20، 40، 80، 160، 320. ستين 640 > 500 هوندي، تنهنڪري ڇهه هارون ان کي ٽوڙين ٿيون. (b) ڳاڙهي تي p(هار) = 19/37؛ (19/37)⁶ = 0.0183، يعني هر چڪر ۾ لڳ ڀڳ 1.8%. هڪ چڪر سراسري طور تي لڳ ڀڳ ٻه ڦيرا هلي ٿو، تنهنڪري 100 ڦيرن جي ويهڪ ۾ لڳ ڀڳ 50 چڪر آهن ۽ p(گهٽ ۾ گهٽ هڪ ڀيرو ٽٽڻ) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630، يعني 63 بنيادي ايڪاپئساايڪوبنيادي شرط جي رقم جنهن ۾ ڪو نظام يا رانديگر حساب ڪري ٿو. درجيوار نظام ايڪن ۾ بيان ڪيا وڃن ٿا ته جيئن اهي ڪنهن به ميز تي لاڳو ٿين.مڪمل پڙهو ←، ان $10 جي مقابلي ۾ جيڪي چڪر کٽڻ جي ڪوشش ڪري رهيو هو.
حل (d)
$5,000 تي: 2,560 تائين رقمون جائز آهن؛ ڏهين رقم، 5,120، رد ٿئي ٿي. نو هارون ان کي ٽوڙين ٿيون: هر چڪر ۾ (19/37)⁹ ≈ 0.25%، 100 ڦيرن جي لڳ ڀڳ 11% ويهڪن ۾. ٽٽڻ تي نقصان: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110. رانديگر وڏي تباهيءَ جي قيمت تي ناياب تباهي خريد ڪئي آهي. ڪيترين ئي ويهڪن ۾ ٽٽڻ جي متوقع قيمت p × نقصان آهي: $500 جي حد تي هر چڪر ۾ ≈ 0.0183 × 630 = $11.5 ۽ $5,000 تي 0.0025 × 5,110 = $12.8؛ گول ڪرڻ جي فرق اندر اهو ساڳيو انگ آهي، ۽ اهو چڪر جو متوقع نقصانرياضيمتوقع نقصانمتوقع قدر ضرب شرطن ۾ لڳايل ڪل رقم؛ هڪ ويهڪ يا ڪنهن عرصي ۾ سراسري طور تي هاريل رقم.مڪمل پڙهو ← ۽ ان سان گڏ اهي $10 آهن جيڪي کٽندڙ چڪر ڪمائين ٿا.
حل (e)
نه. هر چڪر ۾ متوقع نقصان = (چڪر ۾ متوقع ڪل رقم) / 37، ڪنهن به حد تي، ڇو ته هر شرط پنهنجي رقم جو −1/37 آهي. حد رڳو اهو طئي ڪري ٿي ته نقصان ڪيترين ئي ننڍين کٽن ۽ ٿورن وڏن نقصانن ۾ ڪيئن ورهائجي ٿو. حد کان سواءِ ۽ لامحدود سرمائيپئساسرمايوراند جو سرمايو: راند لاءِ الڳ رکيل ڪل رقم. سرمائي جو انتظام اهو فيصلو آهي ته ان مان هر شرط ۽ هر ويهڪ ۾ ڪيترو خطري ۾ وجهجي.مڪمل پڙهو ← سان درجيوار نظام «ڪم ڪري ها»، ان معنيٰ ۾ ته اهو ڪڏهن نه ٽٽي ها، ۽ اهو بي حد رقم جا شرط به لڳائي ها، جنهن جو متوقع نقصان ان بي حد رقم جو 2.70% هجي ها. ميز جي حدميزميز جي حداجازت ڏنل گهٽ ۾ گهٽ ۽ وڌ ۾ وڌ شرط. وڌ ۾ وڌ حد ئي ٻيڻو ڪندڙ درجيوار نظامن کي روڪي ٿي.مڪمل پڙهو ← اها شيءِ ناهي جيڪا مارٽنگيلحڪمت عمليمارٽنگيلدرجيوار نظام جيڪو هر هار کان پوءِ شرط ٻيڻو ڪري ٿو. اهو ڇا ٿو ڪري ۽ ڇا نٿو ڪري، اهو حڪمت عملي واري حصي ۾ ڏسو.مڪمل پڙهو ← کي ڪم ڪرڻ کان روڪي ٿي. حساب روڪي ٿو.
ٻه حقيقي ميزون
ٿورپ جو مثال $1 جي ميز آهي جنهن جي وڌ ۾ وڌ حد $1,000 آهي، جتي هڪ رانديگر هڪ هڪ ڊالر ڪري رات جي ماني لاءِ $30 کٽڻ جي اميد رکي ٿو. رقمون 1، 2، 4 … 512 ڏهن شرطن جي اجازت ڏين ٿيون، تنهنڪري لڳاتار ڏهه هارون درجيوار نظام کي ٽوڙين ٿيون: يورپي ڦيٿي تي 785 چڪرن ۾ هڪ ڀيرو (آمريڪي تي 613 ۾ هڪ ڀيرو)، $1,023 جي قيمت تي. ٽيهه چڪر سڀ 96.2% ڀيرا ڪامياب ٿين ٿا. باقي 3.8% لڳ ڀڳ $1,000 وڃائين ٿا، ۽ شام جو سراسري نتيجو −$9.17 آهي، جيڪو بلڪل ان $339 جو 1/37 آهي جيڪي ٽيهه چڪر سراسري طور تي لڳائين ٿا. $2,000 جي وڌ ۾ وڌ حد واري $5 جي ميز ڪا مختلف ناهي: $1,280 تائين رقمون نو شرطن جي اجازت ڏين ٿيون، ۽ ٽٽڻ يورپي ڦيٿي تي 403 چڪرن ۾ هڪ ڀيرو (آمريڪي تي 323 ۾ هڪ ڀيرو) اچي ٿو ۽ $2,555 جي قيمت رکي ٿو.
هڪ امير رانديگر
درجيوار نظام کي گهٽ حد بدران وڏو سرمايو ڏيو: 1,000 ايڪا، هڪ ايڪي جو بنياد ۽ ڳاڙهي تي 1,000 ڦيرا، ۽ جڏهن به ايندڙ ٻيڻي رقم باقي بچيل کان وڌيڪ هجي ته وري هڪ ايڪي کان شروع. اسان اهڙين هڪ ملين شامن جي سموليشن ڪئي. يورپي ڦيٿي تي 52% نفعي ۾ ختم ٿين ٿيون، 21% سڀ ڪجهه وڃائين ٿيون، ۽ سراسري نتيجو −124 ايڪا آهي. اهڙي راند ۾ به، جنهن ۾ ٻڙيڦيٿوٻڙياڪيلو سائو خانو جيڪو ڪنهن به برابر ادائگيءَ واري، درجن يا ڪالم واري شرط ۾ شامل ناهي؛ ڪسينو جي برتريءَ جو سرچشمو. ٻيا نالا: هڪ ٻڙي، 0.مڪمل پڙهو ← نه هجي ۽ هر شرط منصفاڻو هجي، رڳو لڳ ڀڳ 60% نفعي ۾ ختم ٿين ها. عام شام ننڍي کٽ آهي؛ سراسري جي قيمت اهي شامون ادا ڪن ٿيون جيڪي صفر تي ختم ٿين ٿيون.
سبق
ڪسينو حدون پنهنجي ويريئنسرياضيويريئنساهو ماپ ته نتيجا متوقع قدر جي چوڌاري ڪيترو پکڙيل آهن. هڪ انگ تي شرط لاءِ وڌيڪ، برابر ادائگيءَ وارن شرطن لاءِ گهٽ.مڪمل پڙهو ← کي محدود ڪرڻ لاءِ رکن ٿا، نظامن کي شڪست ڏيڻ لاءِ نه. مارٽنگيل کي شڪست ڏيڻ هڪ ضمني اثر آهي جنهن تي اهي خوش آهن، ۽ حساب ان کي ڪنهن به صورت ۾ شڪست ڏئي ها. جيڪو رانديگر سمجهي ٿو ته مسئلو حد آهي، ان ڪناري کي ته ڳولي لڌو آهي پر ان کي لاهي سمجهي ويٺو آهي.
فارمولو
سوال
اهو اوهان کي وڌيڪ حد تائين بچي رهڻ ڏئي ٿو، جتي ٽٽڻ ناياب ۽ وڏو آهي. هر ڊالر تي متوقع نقصان ساڳيو رهي ٿو.
رقمون 10، 30، 70، 150، 310: $500 جي حد پنجن هارن کان پوءِ اچي وڃي ٿي، ۽ ٽٽڻ جي قيمت $570 آهي. ساڳيو 2.70%.
ته جيئن ڪو هڪ رانديگر ڪسينو جي محفوظ رقم جي آرام سان ادا ڪري سگهڻ کان وڌيڪ شرط نه لڳائي سگهي. ويريئنس جو انتظام.
رياضيءَ سان مزو
پهرين پاڻ ڪوشش ڪريو. هر حل لڪيل آهي؛ جڏهن تيار هجو ته کوليو.
هڪ مارٽنگيلحڪمت عمليمارٽنگيلدرجيوار نظام جيڪو هر هار کان پوءِ شرط ٻيڻو ڪري ٿو. اهو ڇا ٿو ڪري ۽ ڇا نٿو ڪري، اهو حڪمت عملي واري حصي ۾ ڏسو.مڪمل پڙهو ← ڳاڙهيشرطڳاڙهو18 ڳاڙهن انگن تي برابر ادائگيءَ وارو شرط. فرانسيسي: روژ.مڪمل پڙهو ← تي $100 سان شروع ٿئي ٿو ۽ پاڻ کي هر چڪر ۾ وڌ ۾ وڌ n شرطن جي اجازت ڏئي ٿو: لڳاتار n هارن کان پوءِ اهو هار مڃي ٻيهر شروع ڪري ٿو. هڪ چڪر جو سراسري نتيجو n جي فارمولي طور لکو، ۽ يورپي ڦيٿي تي 5، 6 ۽ 7 شرطن لاءِ ڳڻيو.
حل ڏيکاريو
جواب سراسري 100 × (1 − (38/37)ⁿ) آهي: 5 شرطن لاءِ −$14.26، 6 لاءِ −$17.35 ۽ 7 لاءِ −$20.52. وڌيڪ شرطن جي اجازت سراسري چڪر کي بهتر نه، خراب ڪري ٿي.
چڪر $100 کٽي ٿو سواءِ ان جي ته سڀ n شرط هارن، جيڪو qⁿ امڪان سان ٿئي ٿو، جتي q = 19/37. جڏهن سڀ هارن، ته رقمون 100، 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ جمع ٿي 100 × (2ⁿ − 1) ٿين ٿيون. تنهنڪري سراسري 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ) آهي.
هتي 2q = 38/37، 1 کان ٿورو وڌيڪ، تنهنڪري (2q)ⁿ، n سان وڌي ٿو ۽ سراسري گهٽجي ٿي: n = 5 تي 1.1426 ۽ −$14.26؛ n = 6 تي 1.1735 ۽ −$17.35؛ n = 7 تي 1.2052 ۽ −$20.52. ڊگهي ڏاڪڻ گهٽ ڀيرا هارائي ٿي، 3.6%، 1.8% ۽ 0.9% چڪرن ۾، پر هر هار ٻيڻي وڏي آهي، ۽ هر چڪر ۾ وڌيڪ پئسا ميز تان گذرن ٿا، هر شرط جي 2.70% تي.
آمريڪي ڦيٿي تي 2q = 40/38 ۽ انگ −$29.24، −$36.04 ۽ −$43.20 آهن (ٽيلر، 2021). ٻڙيءَڦيٿوٻڙياڪيلو سائو خانو جيڪو ڪنهن به برابر ادائگيءَ واري، درجن يا ڪالم واري شرط ۾ شامل ناهي؛ ڪسينو جي برتريءَ جو سرچشمو. ٻيا نالا: هڪ ٻڙي، 0.مڪمل پڙهو ← کان سواءِ راند ۾ 2q = 1، ۽ هر چڪر جي سراسري بلڪل صفر آهي، ڏاڪڻ ڪيتري به ڊگهي هجي.
«وڏو مارٽنگيل» هار کان پوءِ رقم ٻيڻي ڪري هڪ ايڪوپئساايڪوبنيادي شرط جي رقم جنهن ۾ ڪو نظام يا رانديگر حساب ڪري ٿو. درجيوار نظام ايڪن ۾ بيان ڪيا وڃن ٿا ته جيئن اهي ڪنهن به ميز تي لاڳو ٿين.مڪمل پڙهو ← وڌائي ٿو، تنهنڪري رقمون 1، 3، 7، 15، 31 … هلن ٿيون. جڏهن پهرين کٽ 1هين، 2هين، 3هين يا k-هين شرط تي اچي ته اوهان ڪيترا مٿي آهيو؟ $10 جي ايڪي ۽ $500 جي وڌ ۾ وڌ حد تي، چڪر ڪيترو ڀيرو ٽٽي ٿو، ۽ هڪ چڪر جو سراسري خرچ ڪيترو آهي؟
حل ڏيکاريو
جواب k-هين شرط تي کٽ اوهان کي k ايڪا مٿي ڇڏي ٿي: +1، +2، +3 وغيره. $10 ۽ $500 تي چڪر پنجن هارن کان پوءِ ٽٽي ٿو، 3.57% چڪرن ۾، −$570 لاءِ. سراسري طور تي هڪ چڪر لڳايل $85.73 مان $2.32 وڃائي ٿو: 2.70%.
k-هين رقم 2ᵏ − 1 ايڪا آهي: 1، 3، 7، 15، 31. پهريون k − 1 رقمون جمع ٿي 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1 ٿين ٿيون. k-هين شرط تي کٽ 2ᵏ − 1 ادا ڪري ٿي، تنهنڪري چڪر (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k ايڪا مٿي ختم ٿئي ٿو: کٽ کان اڳ هر هار لاءِ هڪ اضافي ايڪو.
$10 في ايڪو تي رقمون $10، $30، $70، $150 ۽ $310 آهن؛ ايندڙ، $630، $500 جي وڌ ۾ وڌ حد کان مٿي آهي. لڳاتار پنج هارون، (19/37)⁵ = 3.57%، 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570 جو خرچ ڪن ٿيون.
سراسري: کٽون k = 1 کان 5 تائين (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 امڪان سان $10 × k آڻين ٿيون، ۽ ٽٽڻ 3.57% امڪان سان $570 کڻي وڃي ٿو؛ گڏجي −$2.32. لڳايل پئسا سراسري طور تي في چڪر $85.73 آهن، ۽ 2.32/85.73 = 2.70%. ساڳي ميز تي عام مارٽنگيل ڇهن هارن کان پوءِ ٽٽي ٿو، 1.83% چڪرن ۾، −$630 لاءِ، ۽ لڳايل $64.20 مان $1.74 وڃائي ٿو: وري 2.70%.
هڪ رانديگر ڳاڙهي تي $1 جي پهرين شرط سان مارٽنگيل جو منصوبو ٺاهي ٿو، اهڙي ميز تي جنهن جي حد $1,000 آهي، تنهنڪري ڏهه شرط ممڪن آهن: $1، $2، $4 ۽ ائين $512 تائين. هڪ چڪر ڪيترو ڀيرو سڀ ڏهه هارائي ٿو، ان ۾ سراسري طور تي ڪيترو وقت لڳي ٿو، ۽ 200 شرطن جي شام ڪيترو ڀيرو ائين ختم ٿئي ٿي؟
حل ڏيکاريو
جواب هڪ چڪر 784 مان اٽڪل هڪ ڀيرو سڀ ڏهه هارائي ٿو، جنهن جو خرچ $1,023 آهي. اهو سراسري طور تي اٽڪل 1,600 شرط آهي، ۽ 200 شرطن جي شام اٽڪل 11% ڀيرا ڀت سان ٽڪرائجي ٿي. چڪر پوءِ به سراسري طور تي لڳايل $11.31 مان $0.31 وڃائي ٿو: 2.70%.
ڳاڙهي تي شرط 19/37 امڪان سان هارائي ٿي، ٻڙي شامل ڪري. لڳاتار ڏهه: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128، اٽڪل 784 ۾ 1. رقمون 1 + 2 + 4 + … + 512 جمع ٿي $1,023 ٿين ٿيون.
هڪ چڪر سراسري طور تي 2.05 شرط وٺي ٿو، تنهنڪري 784 چڪر اٽڪل 1,600 شرط وٺن ٿا. ڦيري ڦيري ڳڻجي ته ڏهن هارن جو سلسلو 200 شرطن ۾ ڪٿي نه ڪٿي 11.3% ڀيرا اچي ٿو.
آفتن جي وچ ۾ رانديگر هر چڪر ۾ $1 کٽي ٿو: خراب چڪر کان اڳ اٽڪل $783، پوءِ −$1,023، سڄي عرصي ۾ اٽڪل −$240. في چڪر: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31. في چڪر لڳايل پئسا: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31. ۽ −0.31/11.31 = −2.70%.
$500 جي حد تي $10 جي پهرين شرط سان ڀيٽ ڪريو، ڇهه شرط: ڀت 55 چڪرن ۾ هڪ ڀيرو اچي ٿي، ۽ 200 شرطن جي شام 84% ڀيرا ان سان ملي ٿي. وڌيڪ حد تباهيءَ کي ناياب ۽ وڏو ڪري ٿي، سستو نه.
ٿورو مزاح
هر حد تي ناياب ۽ وڏو. ضرب مستقل آهي.
حوالا
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.